penjelasan probabilitas lengkap !!!

PROBABILITAS

Probabilitas adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa yang terjadi ,diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin akan terjadi.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1.Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau    proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2.Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

3.Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

Ada 3 cara perumusan tentang teori kemungkinan ini:

a. Perumusan klasik

b. Perumusan frekuensi relative

     c.pendekatan subjektif

A ) Perumusan Klasik

Apabila suatau peristiwa (event) E dapat terjadi sebanyak a dari sejumlah n kejadin yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, maka probabilitas peristiwa E dapat dirumuskan sebagai berikut :

P(E) = ^a/_n

Ket :P : Probabilitas

E : Event

a : banyaknya percobaan

n : banyaknya yg muncul

B ) Rumusan Probabilitas Frekuensi Relatif

Apabila kita mengadakan percobaan sebanyak n yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga mendekati tak terhingga dan apabila a merupakan jumlah kejadian khusus, maka probabilitas peristiwa E merupakan harga limit dari frekuensi relatif ^a/_n.

Rumus : P (E) = lim a

n → ∞ n

C. Pendekatan Subjektif

Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.

·       Azaz perhitungan probabilitas

Hukum pertambahan

1.    Mutually exclusive ( saling meniadakan)

2.    Non mutually exclusive ( dapat terjadi bersama )

Hukum perkalian

1.    Peristiwa bebas ( independent )

2.    Peristiwa bersyarat ( conditional )

*Peristiwa saling meniadakan

          Dua peristiwa dikatakan Mutually Exclusive apabila suatu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi ( saling meniadakan )

Contoh :

1.    Permukaan sebuah koin

2.    Permukaan dadu

3.    Kelahiran anak laki atau perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal

Rumus :

P (A U B) = P (A atau B) = P (A) + P (B)

Contoh :

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah :

P(2 U 5) = P(2)=P(5) = 1/6 + 1/6 =2/6

·       Peristiwa bersamaan

Non mutually exclusive ,dua peristiea yang bias terjadi secara bersamaan

Rumus :

P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Contoh :

Pada penarikan kartu dari satu set kartu bridge ,peluang akan terambil kartu as atau kartu berlin adalah :

P(as) : 4/52

P(berlin) : 13/52

Ada sebuah kartu as dan berlin P(as ∩ berlin) : 1/52

P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P (as U berlin) = P(as) + P(berlin) – P(as ∩ berlian)

                     4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

·       Peristiwa Bebas

Kejadian atau ketidakjadian sesuatu tidak mempengaruhi peristiwa lain

Contoh :

Sebuah koin dilambungkan 2kali maka peluang munculnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua tidak saling mempengaruhi atau bebas.

Rumus

P(A ∩ B) = P(A dan B) = P(A) X P(B)

• ·       Peristiwa bersyarat/tidak bebas

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh :

Dua bah kartu ditarik dari satu set karu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukan kembali kartu pertama ,maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

*Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B|A) = Probabilitas B pada kondisi A

P (A ∩ B) = P (A) X P (B | A)

          Contoh Soal :

          Dua kartu yang ditarik dari satu set bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as

          Adalah sebagai berikut :

          Peluang as I adalah 4/52 = P (as I) = 4/52

          Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

          P (as II | as I) = 3/51

          P (as I ∩ as II) = P ( as I) X P ( as II|as I) = 4/52 X 3/51 = 12/2652 =            1/221

Teorema Bayes

Teorema ini diambil dari nama seseorang yang telah menemukan teorema bayes ini yaitu Thomas Bayes (1702-1761)

Teorema Bayes ini digunakan untuk membantu menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi peristiwa sebelumnya.

 Teorema ini menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B)

or

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

Contoh soal :

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?

Jawab
P (A) = 2%
P (Ā) = 98%
P (B | A) = 97%
P (B | Ā) = 9%P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194P (B ∩  Ā) = P ( Ā) × P (B |  Ā) = 98% × 9% = 0,0882P (Ƀ ∩ A) = P (A) × P (Ƀ | A) = 2% × 3% = 0,0006
P(Ƀ ∩Ā ) = P (Ā) × P (Ƀ | Ā) = 98% × 91% = 0,8918

P(A | B) = P(B ∩ A) / P(B)  =  P(B | A) × P(A) / P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

                                              = 97% × 2% / (97% × 2%) + (9% × 98%)

                                              = 0.0194 / 0.0194 + 0.0882

                                              = 0.0194 / 0.1076

                            P(A | B)     = 0.1803

                              

Daftar Pustaka :

https://www.slideshare.net/namikazedace/probabilitas-statistik-2
https://adiachirulrajab.blogspot.co.id/2014/05/materi-statistik-dasar-teori.html
https://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/11/04/bab-vii-pengantar-peluang/
http://www.academia.edu/30231488/Probabilitas_dan_Statistika_Teorema_Bayes_
J. Supranto, Statistik, dann Aplikasi, Jilid I, Penerbit Erlangga,2016