VARIABEL ACAK (RANDOM VARIABLE)

VARIABEL ACAK

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.

karena biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Contoh :

peristiwa tentang seorang ibu yang melahirkan. Kita tahu hanya ada dua kemungkinan jenis kelamin dari peristiwa ini yakni Laki-laki (L) atau Perempuan (P). Jika peluangnya masing-masing untuk melahirkan L dan P adalah ½ , maka kita dapat menyusun ruang sample dari peristiwa ini sebagai berikut :

Untuk satu orang anak : S = {L, P}

Untuk dua orang anak : S = {LL, LP, PL, PP}

Untuk tiga orang anak : S = {LLL, LLP, LPL,PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}

Untuk empat orang anak, bisa dibuat tabel sebagai berikut :

TABEL 1.

Jumlah L	Susunan	Titik Sampel	Peluang L
0 1 2 3 4	PPPP LPPP, PLPP, PPLP, PPPL LLPP,LPLP,LPPL, PLLP, PLPL, PPLL LLLP, LLPL, LPLL, PLLL LLLL	1 4 6 4 1	1/16 = 0,0625 4/16 = 0,25 6/16 = 0,375 4/16 = 0,25 1/16 = 0,0625
Jumlah	16	1,00

Jika tabel di atas disusun kembali dalam notasi variabel acak, maka akan diperoleh tabel yang memperlihatkan distribusi peluang variabel X seperti berikut :

X	P(X)
0 1 2 3 4	0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
	1,000

Sebuah distribusi peluang dikatakan sudah terbentuk, jika semua peluang dari setiap variabel acak berjumlah satu. Dengan terbentuknya distribusi peluang seperti tabel di atas, maka notasi baru untuk penulisan peluang kini dapat dituliskan menjadi P(X=0) = 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.P(X=0) = 0,0625 ; P(X=1) = 0,25 dan seterusnya.

Macam-macam Variabel Acak

Variabel acak dapat diklasifikasikan ke dalam variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

a. Variabel acak diskrit, berhubungan dengan hasil sebuah peristiwa yang ruang sampelnya terhingga dan terhitung. Sedangkan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang variabel acak diskrit. Umumnya variabel diskrit berhubungan dengan pencacahan terhadap suatu objek atau indvidu. Contoh lihat tabel 1 di atas. Kita tidak mungkin mengatakan jumlah laki-laki = ½. atau ¼ .

Beberapa contoh variabel diskrit :

1. Jumlah kesalahan pengetikan

2. Jumlah kendaraan yang melewati persimpangan jalan

3. Jumlah kecelakaan per minggu

b. Variabel acak kontinu, didefinisikan sebagai suatu variabel yang nilai-nilainya berada dalam ruang sample takterhingga. Variabel ini bisa mempunyai sebuah harga dimana harga-harga x dibatasi oleh -¥ < X < ¥. Variabel acak kontinu dapat diilustrasikan sebagai titik-titik dalam sebuah garis.

Pengukuran fisik seperti waktu atau panjang merupakan contoh yang paling mudah dipahami untuk variabel acak kontinu ini.

Misalkan :

para buruh di sebuah wilayah akan diukur tinggi badannya. Jika kita menggunakan meteran dengan ketelitian sentimeter, maka tinggi setiap orang bisa kita anggap sebagai titik dalam meteran tersebut. Dengan demikian setiap ukuran X akan berhubungan titik-titik yang jumlahnya sangat banyak atau takterhingga

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x).

Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.

Contoh :

Jumlah mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dalam sehari	Jumlah hari
0 1 2 3 4 5	54 117 72 42 12 3
Total	300

Distribusi Probabilitas Jumlah Mobil Terjual dalam Sehari

X	p(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Total	1,00

Dalam membuat suatu fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit, kondisi berikut harus dipenuhi.

1. p(x) ³ 0 atau 0 £ p(x) £ 1

2. S p(x) = 1

Kita juga bisa menyajika distribusi probabilitas dengan menggunakan grafik.

Distribusi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak diskrit

Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.

Secara matematis, fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut.

F(x) = P(X £ x) = X £ p(x)

Dimana

F(x) = P(X £ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

Contoh :

Probabilitas Kumulatif dari jumlah mobil terjual dalam sehari

X	F(x)
0 1 2 3 4 5	0,18 0,57 (= 0,18 + 0,39) 0,81 (= 0,18 + 0,39 + 0,24) 0,95 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14) 0,99 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04) 1,00 (= 0,18 + 0,39 + 0,24 + 0,14 + 0,04 + 0,01)